高階常微分方程式の構造
n階の線形微分方程式はその最高階の導関数で特徴づけられます。一般形を式(1)として定義します：
$$P_0(t) \frac{d^n y}{dt^n} + P_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + P_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + P_n(t)y = G(t)$$ (1)
理論的解析を容易にするために、しばしば $P_0(t)$ で割ることでこの方程式を正規化します（対象区間で $P_0(t)$ がゼロでないと仮定）。これにより 標準形 （式2）：
$$L[y] = \frac{d^n y}{dt^n} + p_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + p_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + p_n(t)y = g(t)$$ (2)
演算子記法と定数係数
n階の導関数の複雑さは、単一の線形演算子 $L$ に統合されます。係数が定数（$a_n$）の場合、式は次のように簡略化されます：
$L[y] = a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y' + a_ny = g(t)$
この記法は、$L$ が線形に作用することを強調しています：$L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$。この原則により、一般解は 補助解 （$y_c$）と 特殊解 （$Y$）で構成されることを保証します。
以下の図4.2.4を考えてください： 図4.2.4二つのばねと二つの質量からなるシステムで、質量は $m_1, m_2$、変位は $u_1, u_2$ です。物理法則により、二つの結合した2階微分方程式が得られます。$u_1$ を代入によって分離することで、一つの 4階 微分方程式が生成されます。これを解くには、 4つの初期条件 各質量の位置と速度が必要であり、一意な物理的経路を求めます。
実例：同次解の求め方
次の微分方程式の一般解を求めなさい：$y''' - y'' - y' + y = 0$
まず $y = e^{rt}$ と仮定し、微分方程式に代入すると、$r^3 - r^2 - r + 1 = 0$ となります。
項別にグループ化して因数分解：$r^2(r - 1) - 1(r - 1) = 0 \implies (r^2 - 1)(r - 1) = 0$。
これは $(r - 1)(r + 1)(r - 1) = (r - 1)^2(r + 1) = 0$ に展開されます。
根は $r = 1$（重複度2）および $r = -1$ です。$r=1$ が繰り返されているため、2番目の項に $t$ を乗じます。
$y_c(t) = c_1e^t + c_2te^t + c_3e^{-t}$